PROBLEMA 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione y = f(x), dove è:

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y<0.

b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria parallelo all’asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa -1 (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).

c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.

d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x.

e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all’intervallo .

PROBLEMA 2

Si considerino le lunghezze seguenti:

[1]        ,        ,        ,

a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.

b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima.

c) Verificato che per le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo.

d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.

QUESTIONARIO

1. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.

2. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali e e volumi e . Si sa che . Calcolare il valore del rapporto

3. Considerati i numeri reali a, b, c, d - comunque scelti - se a>b e c>d allora:

A) a+d > b+c;
B) a-d > b-c;
C) ad > bc;
D)

Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.

1. Si consideri la seguente proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.

2. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:

3. Si consideri la funzione:

Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo .

4. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che:

f(x) = , con x > 0.

5. La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile nell’intervallo aperto (1,3). Si sa che e inoltre per ogni x dell’intervallo (1,3). Spiegare in maniera esauriente perché risulta .

6. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:

Tale luogo è costituito da:

A) un punto;
B) due punti;
C) infiniti punti;
D) nessun punto.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

1. La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che:

= a , = b ,

Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta:

= ln 2 e = ln 4 .

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